Matematica

Lezione 1 (21/2/2001) _________ Lezione 2 (28/2/2001) ________ Lezione 3 (7/3/2001) _________ Lezione 4 (14/3/2001)

Lezione 5 (21/3/2001) _________ Lezione 6 (28/3/2001) ________ Lezione 7 (4/4/2001) _________ Lezione 8 (11/4/2001)

Lezione 9 e 10 (2 e 9/5/2001) ___ Lezione 11 (16/5/2001) ________ Lezione 12 e 13 (23-30/5/2001) ________ Lezione 14 (8/6/2001)

Lezione 15 (13/6/2001)

Lezione del 21/2/2001

Ricordare che...

• Si possono usare, nei calcoli, delle lettere al posto dei numeri: in questo caso si parla di Calcolo letterale; la lettera indica qualsiasi numero. Ad esempio, l'espressione algebrica 2a può valere 4 se alla lettera a sostituiamo 2, o 6 se ad a sostituiamo 3.
• Le somme algebriche vanno calcolate tenendo conto del segno di ogni termine dell'espressione e del fatto che vale la proprietà commutativa. Ad es., -5+4 = +4-5 = -1.
• Il il segno del prodotto fra numeri relativi segue la legge di composizione dei segni: -*- = +, +*- = -, -*+ = -, +*+ = +. Ad es., (-1)(-2) = 2.
• Le operazioni aritmetiche hanno priorità diverse; in un'espressione, una moltiplicazione (o una divisione) va eseguita sempre prima delle somme (o sottrazioni). Ad es., 2*3+4 = 10 e non 14. Le parentesi, in un'espressione, possono alterare queste priorità. Ad es., 2*(3+4) = 14 e non 10.
• Se sommiamo (sottraiamo, moltiplichiamo o dividiamo) ambo i membri di un'eguaglianza con una stessa quantità, non modifichiamo la validità dell'eguaglianza stessa. Ad es., la banale eguaglianza 2 = 2 non cambierà (sarà sempre verificata) se sommiamo ambo i membri con 3 (2+3 = 2+3 cioè 5 = 5 è sempre verificata). Altro esempio: a + 3 = 5 non cambierà se la trasformiamo così: a + 3 - 3 = 5 - 3 (abbiamo sottratto 3 ad ambo i membri) così come 2a = 4 non cambierà se la trasformiamo in 2a/2 = 4/2.
• Dal punto precedente discende la definizione, e il procedimento di risoluzione, di equazione, cioè qualsiasi eguaglianza in cui compaiano dei termini noti e dei termini incogniti; le equazioni di 1° grado sono quelle in cui il termine incognito compare alla prima potenza. Ad esempio, x + 1 = 2 è un'equazione di 1° grado poiché la x, lettera con cui si indica di solito il termine incognito, è alla potenza 1; per risolvere questa equazione applichiamo i risultati ottenuti nel punto precedente: sottraendo 1 da ambo i membri otterremo: x + 1 -1 = 2 - 1 cioè x = 1; come si vede, si tende a fare in modo di avere tutti i termini con l'incognita a sinistra del segno di uguaglianza e tutti i termini noti (i numeri) a destra; il numero a destra del segno = dell'ultima espressione è la soluzione dell'equazione. Altro esempio: l'equazione 3x = 9 diventa (dividendo ambo i membri per 3) 3x/3 = 9/3 cioè x = 3.
• Si può accelerare il procedimento di risoluzione osservando che quando scriviamo x + 1 -1 = 2 - 1, come nell'esempio precedente, è come se dicessimo: un termine additivo (+ 1 nell'esempio) che compare da un lato del segno = può essere portato dall'altra parte cambiato di segno (l'equazione originaria era x + 1 = 2 che, portando + 1 a destra del segno =, diventa x = 2 - 1 ....). Allo stesso modo, un termine che in un membro moltiplica, portato all'altro membro dividerà; ad es., 3x = 9 diventa, portando il 3 a destra del segno di uguaglianza, x = 9/3.
• Vale, in un'espressione letterale, la proprietà distributiva; ad es., 5(a + b) = 5a + 5b, cioè il numero 5, che sta fuori della parentesi, moltiplica tutti (e soli) i termini additivi dentro la parentesi.
• Vale anche l'inverso: si possono raccogliere tutti i termini comuni presenti in un'espressione e metterli in evidenza; ad esempio nell'espressione 7x + 7y possiamo mettere in evidenza il 7, che compare in entrambi i termini, ottenendo così 7(x + y).

Esercizi (Equazioni di 1° grado)

1. x+3(1 -x) =2+5x.
2. 4(1+x) - 3(2-x)=4+3x(1-1/3)
3. 3-2(4x-3) =x-3(2x+5).
4. 5(2+x)=3(1+x)-2x-4(2-x).
5. (7-3x)² + x = 5 - 3(5 -x)
6. 2(x-3)-4(1 -2x) =3(x-l).
7. 3(x-1)-2x+5=4(x-2)+4.
8. 3x²-1-x=x(3x+1}+5.
9. 6(x+2)-3(x+4)+3=2x+4(x+1).
10. 2(x-3) -5(1 +x) -1 =x+2(1-x);
11. (x-1)(x+1)+2(1-3x)=(x+2)(x-3)-3.
12. 3-2(x+2)-(1+4x)=x-2(2x+1).
13. 3x(x- 1) - (1 +x) (-4) =2x² - (1 -x) (1 +x) +4.
14. 2-[2x- (3 -x) -4] = (1 -2x)3+2 -3x;
15. -2[x(x - 1)-1 +x(3 - x)] = -2(1 +5x) +4.
16. x-1+ 5(x - 3) + (-2)² = 6(x - 2).

Se si hanno problemi a eseguire le equazioni:

- Svolgere questi esercizi sulle operazioni tra numeri relativi

Calcolare le seguenti somme algebriche:

+3-6; -2+5; 2+2; -3-4; +3 +4; -5 +1; 2+3; 1+5; - 2+3; +1,-5; - 2,3; -1,5; 1,8; -0,5; 0,2; -3,4; 1,3; 0+(-3)

(-3)+(-5,8); -4 + (+3,2); -3 + (-1.7); -3 + (+1,7); (-7) + (-7); 1,3+(-0,2).

(+3) + (-2) + (-4); (-1) + (-3) + (-5); (-5)+ (+5)+ (-6); (-4) + (-1) + (+4).

( 2,5) + (+1,3) + (0,2); (-2,1) + (-1,3) + (+4); 2,3+(-1,.2)+(+1,2); -5+7-8+10; -4+0,5-7,3+9,2.


Moltiplicazioni

(-5+2)(-3); (-1+4-9 )(+1); (-8)(-7+4+3);

-4(5+2,5-4,5); (-8,3+4,2-0,7)(-2); (-1)(+2)(-6);

(+4)(-2)(+2); 3(-3)(-2); (+5)(-2)(+3);

0,1·(+3)·(-0,4); 0,2 (-3,5)·(+1,2); -2,3(+0,9)·(-0, 5).

- Svolgere le seguenti espressioni letterali

a-(a+b); a + (2a -b); a² - (a - b); (a+b)² a²+b²; 2(a+b); 2a - a²; (x+y)/2; (a + b)² - (ab)².

Calcolare il valore delle seguenti espressioni attribuendo alle lettere i valori numerici posti a fianco di ciascuna di esse

3a²b; -2ab³ per a=-2/3; b=+3/2

(ab-2a-3b+6) / (a² - 2a -3) per a=-3/5; b=0,2

[(a² - b²) / (a-b)²][(a² + ab) / (a-b)²] per a=3/4 ; b=-2/5


Calcolare:

(2a+4b - 6c)(-2b); (7x - 2y)(-3x); -7(10a + 15a - 5); (-3x² + 6x - 1) (-8/3);

+3x(x² - 3x 42); -4ab(2a² +3ab-b²); -4a²b³(a+2a²b-3a³); (a² + a + 1)2a³;

(4x² - 5x)(-2x²); (-2x²)(4x² - 5x); (x + 2)(-5x²y); 2a³b²(-2a+b-a² +2b²);

(-7b+2a) 7a²b² + (-a²b)(8a² +5ab -4b²); (-2a²)(3ab +5a²- 3b²) - 4a²b(4 - 7a + 8b).

5a²b(2a - 3b) - (1/2)a²(ab - 4a² - 2b³) + (-2a)⁴; 8x³ - {(+1/4)x[(x² - y²)(-2)² - 4x²]+ 8x³}.

Raccoglimento a fattor comune

Scomporre in fattori le seguenti espressioni mettendo in evidenza in ciascuna di esse i fattori comuni

a²+4a; 2+6a; a³+a²; a⁵+8a³; -x³-2x²-5x.

x²yz + 2xy² z + xyz²; 4mn² - 6m²n; (1/9)a³b³ +(2/3) a²b⁴;

(a+b)x² + (a+b)y+2(a+b)x; x²y(x-y) +3x³y(x-y) +4xy²(x-y).

9axy-6a²x; 5m²+ l0m; 4a²b² -6a³b+8a²b³; 9a³ +3a+3.

15a-20a²+25ab; x¹⁰ -x⁸ +4x⁶; 12xy² - 15xy+ 18x²y; 0,5a³b⁴ - 1,5ab³.

a³ -4a² +5a; 6x³ - 12x²y+24x⁴; x⁶y⁴ -x³y³ +4x⁴y²

(1/4)a³b²c²+(3/2)a²bc² - (5/4)a²bc⁴ + (1/8)a²b²c² -(5/2)a²b³c³.

2(a- l)+x(a-1)-2xy(a-1); 3x(a+1)+a+1-8x²(a+1).

(a-b)²+2(a-b) - (a-b)ab; (x+2y)² -3(x+2y) +2(x+2y)³.

(3a+1)(2a-3)-4a(2a -3)-7(2a-3).

(a-1)(a -2)(a-3)-3(a- 1)(a-2)+(a-1)(a-2)²a+(a-1)(a-2).

a(x-1)² +2a(x-1)+3a(x-1)(x+2); a²(2x-y)-a³(2x-y) -3(2x-y); (x+y)(2x-1)(x+3)-(x+y)²(x+3)-(2x-1)²(x+y);

(a-1)³(a+2)(2a-1)-(a- 1)²(2a- 1)+(a+2)(a-1)(2a-1)²; -3n(n-2)³ -4n(n+2)(n +1) + (n+2)(n+ 1)².

Lezione del 28/2/2001

Ricordare che...

• Qualsiasi equazione di 1° grado può essere scritta nella forma: ax+b=0; a e b sono i termini noti: a è un termine moltiplicativo (può essere anche chiamato coefficiente della variabile x) e b è un termine additivo.
• Ad ogni forma ax+b può essere associata una relazione del tipo y=ax+b.
• Vogliamo trovare una relazione tra equazioni e punti su un piano. A questo scopo bisogna considerare che ogni punto del piano può essere riferito a una coppia di rette ortogonali fra loro dette asse delle ascisse (normalmente orizzontalr e si indica con x) e asse delle ordinate (di solito verticale e indicato con y); tale sistema di assi definisce il piano cartesiano.
• Ogni punto P sul piano è individuato univocamente sul piano cartesiano da una coppia di numeri detti coordinate del punto P. Ad esempio il punto P(3,7) determina un punto che dista 3 unità dall'asse verticale e 7 unità dall'asse orizzontale (v. figura)

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• Il punto di incontro degli assi cartesiani viene chiamato origine e ha coordinate P(0,0).
• La lunghezza del segmento OP è data, per il teorema di Pitagora, da SQRT(3²+7²) dove SQRT indica l'operazione di radice quadrata; in generale, la lunghezza del segmento che unisce l'origine degli assi con un punto qualsiasi è data da d=SQRT(x²+y²).
• La relazione algebrica y=ax+b definisce una retta sul piano cartesiano; il termine a viene chiamato coefficiente angolare della retta, mentre il termine b esprime la distanza del punto di incontro della retta con l'asse y dall'asse orizzontale.
• Il significato del coefficiente angolare può essere chiarificato dalla seguente figura che mostra il grafico delle tre rette: y=x, y=2x, y=x/2; si può osservare che, maggiore è l'entità del coefficiente angolare maggiore sarà l'inclinazione della retta rispetto l'asse x.

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• E' facile rendersi conto che la soluzione dell'equazione ax+b=0 associata alla retta y=ax+b rappresenta il punto in cui la retta stessa incontra l'asse delle ascisse (definito anche come la retta y=0); ad esempio, la 1a equazione tra gli esercizi del 21/2/2001, effettuando gli opportuni passaggi, può essere scritta -7x+1=0; la retta associata è, dunque, y=-7x+1; disegnando la retta (v. figura) possiamo vedere che questa incontra l'asse x nel punto x=1/7 che è, appunto, la soluzione dell'equazione -7x+1=0.

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• Possiamo effettuare anche il procedimento opposto: date le coordinate di due punti P₁(x₁,y₁) e P₂(x₂,y₂) è possibile scrivere l'equazione della retta passante per essi; infatti il coefficiente angolare può essere calcolato tramite la seguente relazione: a=(y₂-y₁)/(x₂-x₁) (provare a dimostrarla anche solo intuitivamente). L'equazione completa sarà: y=x(y₂-y₁)/(x₂-x₁)+y₀; il termine y₀ rappresenta la distanza tra il punto di incontro della retta con l'asse y (di equazione x=0) e l'asse x e si calcola tenendo conto che y₀ è anche la lunghezza del segmento verticale che unisce la retta di cui stiamo cercando l'equazione e quella, parallela a quest'ultima, che, con uguale coefficiente angolare, passa per l'origine; la lunghezza di tale segmento verticale è data dalla differenza tra l'ordinata y₁ e, quella analoga, x₁(y₂-y₁)/(x₂-x₁), relativa alla retta passante per l'origine, cioè:y₀=y₁-x₁(y₂-y₁)/(x₂-x₁); in figura è mostrata la retta passante per i punti P₁(1,3) e P₂(4,5).

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• Un insieme di 2 equazioni in cui compaiano le stesse due incognite (ad es. x e y) soddisfatte contemporaneamente dagli stessi valori è un sistema di equazioni a 2 incognite; i due valori che soddisfano entrambe le equazioni sono le soluzioni del sistema. Tale definizione può essere generalizzata al caso in cui le equazioni e le incognite siano n (n qualsiasi): in tal caso parliamo di sistema di n equazioni a n incognite.
• Il metodo più semplice di risoluzione è quello di sostituzione che consiste nel risolvere una delle due equazioni rispetto una delle incognite e sostituire l'espressione ottenuta al posto della stessa incognita nell'altra equazione. Ad es., dato il sistema {y+1=2x; y-2=3x, possiamo scrivere la 1a equazione come y=2x-1 e sostituire l'espressione a destra del segno = al posto della y nella 2a equazione ottenendo, così, l'equazione 2x-1-2=3x che, con le opportune semplificazioni, diventa x=-3; la y si trova sostituendo la x trovata precedentemente in una della due equazioni, ad es. la prima, ottenendo y+1=2(-3) ovvero y=-7.
• Anche i sistemi di equazioni hanno un preciso significato geometrico; innanzitutto, le due equazioni determinano altrettante rette (v. figura): le soluzioni del sistema sono le coordinate del punto in cui si incontrano (come ci si può rendere conto osservando la figura).

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Esercizi

Equazioni di 1° grado e rette sul piano cartesiano

Provare a tracciare le rette relative ad alcune delle equazioni dagli esercizi del 21/2/2001 verificando graficamente la correttezza delle souzioni (provare anche una di quelle impossibili).

Sistemi di 2 equazioni con 2 incognite

1. 2x-y=4
   x+3y=9
2. x+y=2
   -x+2y=-17
3. 4x+y=-8
   -2x+y=10
4. 2x+y=5
   x-3y=-1
5. 3x+5y=1
   4x+y=7
6. 4x+3y=11
   2x+y=4
7. 3x+1=4y
   6x+2y-3=0
8. 3x-4y=6
   3x-y=3
9. 2x-y=3
   4x+y/2=1
10. (4x-y)/6 + x/4=1
    x+2y=12
11. 3x+2y=4
    2y-3(x+3)/2=-5
12. x+2y=2(2x-y+5)
    2-3x=y-1+2(x+6)
13. 3x-5=2(y+1)-8
    2(x-1)=3(1-2y)+9
14. -[x-3(y-1)]+2x=3
    2(3x-y)+3(1-x)=-12
15. x-2[y-(x+1)]=12
    3x-2(y+3)=4
16. 3x-2(y+1)=x+2(x-y)
    x+4y=0
17. -2x+y=3
    3y+x²=(3+x)²
18. x/2-y=3
    x+y/3=11/3
19. 3y-2x=0
    2x/3-y/2=1/6
20. (y+1)/3+x/2=4
    1/2-(x+y)/6=2x/3-y/3

Sistemi di equazioni e intersezioni fra rette

Per alcuni dei sistemi dati nell'esercizio precedente, tracciare le relative rette e verificare graficamente le soluzioni trovate.

Lezione del 7/3/2001

Ricordare che...

• Qualsiasi equazione di 2° grado può essere scritta nella forma ax²+bx+c=0, dove a è il coefficiente del termine di 2° grado, b il coefficiente del termine di 1° grado e c è il termine noto.
• Per trovare un metodo generale di risoluzione basta trovare un modo per esprimere la generica equazione di 2° grado in un quadrato di un binomio. Ad es. ax²+bx+c=0, può diventare, moltiplicando tutti i termini per 4a, 4a²x²+4abx+4ac=0; se portiamo il termine 4ac a secondo membro e addizioniamo b² ad ambo i membri (operazione che lascia comunque inalterata la validità della relazione di uguaglianza), otterremo l'equazione 4a²x²+4abx+b²=b²-4ac; è facile rendersi conto che l'espressione a primo membro è lo sviluppo del quadrato del binomio 2ax+b e che, pertanto, possiamo scrivere (2ax+b)²=b²-4ac; effettuando le opportune manipolazioni otterremo, finalmente, la formula generale di risoluzione che, come si vede, individua 2 soluzioni

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• Come per le equazioni di 1° grado, effettuiamo un collegamento tra Algebra e Geometria: una relazione di 2° grado individua una curva detta parabola di equazione y=ax²+bx+c; nella figura sottostante possiamo vedere le parabole di equazioni y=x², y=2x², y=x²/2 (il coefficiente del termine di 2° grado ha un significato analogo al coefficiente angolare della retta)

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• La generica parabola, y=ax²+bx+c, può essere disegnata fissando sugli assi cartesiani i punti di incontro con l'asse x (le soluzioni dell'equazione) e il punto di incontro con l'asse y (che si ottiene ponendo x=0) e ricordando che si tratta di una curva simmetrica rispetto un asse che passa per il suo punto di minimo (o di massimo); quest'ultima affermazione ci porta a dedurre che il punto centrale della parabola si ottiene conoscendo le soluzioni dell'equazione associata...
• Se l'equazione non ammette soluzioni numeriche semplici (ad es. se b²-4ac<0) la parabola non incontrerà l'asse x.
• In generale un polinomio di grado n in x è un'espressione in cui compaiono un certo numero di termini contenenti la variabile x elevata ad una potenza non maggiore di n.
• Una disequazione è una relazione in cui non si cerca un unico valore (o un numero finito) che la soddisfi, ma un'infinità di valori che la soddisfano e un'infinità di valori che, eventualmente, non la soddisfano. Normalmente si cercano i valori per cui una certa espressione è maggiore (o minore) di un'altra.
• Una disequazione si risolve in maniera analoga a quella in cui si risolve un'equazione; ad es., 2x-1<0, portando i termini noti a secondo membro con le ben note regole, diventa x<1/2 che equivale a dire che la relazione è soddisfatta per tutti i valori della x minori di 1/2. Vale inoltre la regola che, invertendo i segni ad ambo i membri, occorre cambiare il verso della diseguaglianza per mantenere inalterata la validità della relazione; ad es., -a<-b può essere cambiata in a>b.

Esercizi

- Equazioni di 2° grado

1. x²-x-6=0
2. x²-x-20=0
3. x²-7x+10=0
4. x²-8x+18=0
5. x²-2x-35=0
6. x²+2x-35=0
7. x²+2x-8=0
8. x²+x-6=0
9. x²-4x+4=0
10. 2x²+3x-20=0
11. x²-9x-22=0
12. 8x²+10x-7=0
13. x²-x+1=0
14. 6x²-5x-6=0
15. 6x²+13x+6=0
16. 4x²-12x+9=0
17. 9x²+6x+1=0
18. 3x²-2x+8=0
19. (1/9)x²+(2/3)x+1=0
20. 3x²-5x-12=0

- Parabole ed equazioni di 2° grado

Disegnare le parabole relative ad alcune delle equazioni precedenti ricordando che per far questo basta trovare i punti di intersezione della curva con l'asse x e quello di intersezione con l'asse y.

- Disequazioni di 1° grado (provare a risolverle anche se non sono state trattate nelll'ultima lezione)

1. 12-1<1+2(x+4)
2. 3+4(1+x)-(1+3x)>-2
3. 3(x-1)-2<5x+1
4. 4(2x-1)-3(1-2x)>5
5. (1/3)x-(x/2-2)>(5-x)/6+1
6. 3+2(x-1)>7+5(x-2)
7. 8(5-x)+3(x-5)>0
8. 9(20-5x)+27>8(5x-6)

Speditemi le soluzioni di questi esercizi via e-mail (quando ciò è possibile) in modo che possa cominciare a verifcarle prima della prossima lezione.

Lezione del 14/3/2001

Insiemi e numeri

Insiemi

Diagrammi di Venn	Elementi di un insieme

A e B sono insiemi, cioè aggregati primitivi di oggetti di qualsiasi natura. Il simbolo sta per appartiene a: nella figura, infatti, c è un elemento di A.

Operazioni fra insiemi

Unione	Intersezione	Inclusione

Nel primo caso (Unione) l'insieme C è costituito dagli elementi di A e dagli elementi di B. Nel secondo caso (Intersezione) l'insieme C è formato dagli elementi comuni ad A e B. Nel terzo, C è contenuto in A e, quindi, è costituito da alcuni elementi di A; C viene anche chiamato sottoinsieme di A.

Alcune definizioni

Insieme vuoto	Applicazione fra insiemi

Un insieme che non ha elementi viene definito come insieme vuoto; ad esempio l'interserzione di due insiemi che non hanno elementi in comune è un insieme vuoto. Esiste un'applicazione ƒ fra gli insiemi A e B quando è definita una legge che associa un elemento a A ad un elemento b B

Quantificatori

Esistenziale	Universale
x A Esiste un x appartenente all'insieme A	x A Per ogni x appartenente all'insieme A

Definizione esplicita di insiemi

Insiemi numerici

E' ovvio che

Intervalli

a,b ; ad esempio 3 (2, 4]; 2 (2, 4]

Intervalli e geometria

L'insieme dei numeri reali () può essere messo in relazione con una retta; un numero reale x è rappresentato con un punto sulla retta

Un intervallo è analogo a un segmento; un punto x [a,b] è un punto interno al segmento

L'insieme dei numeri complessi (a + jb ) è rappresentabile con un piano in cui sia definito un sistema di assi cartesiani: sulle ascisse troviamo la parte reale (a, cioè la parte non moltiplicata per l'unità immaginaria j) mentre sulle ordinate troviamo la parte immaginaria (b, ovvero il fattore che moltiplica l'unità immaginaria j); un numero complesso x , dunque, è rappresentato con un punto sul piano

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