Lezione del 8/6/2001
Limiti di successioni
Una successione {x(n)} si dice convergente
al numero x 
se al
crescere dell'indice n il termine corrispondente della
successione si avvicina sempre di più a x. In questo caso il valore x è chiamato limite della
successione x(n) per n che
tende a infinito. Si usa anche la terminologia: x(n) tende a n per n tendente a infinito.
Più rigorosamente, il
limite x di una successione x(n) deve essere tale che, fissato un numero e > 0 (e )
piccolo a piacere, si abbia
| | x(n) - x | < e |
Un'espressione racchiusa fra 2 barrette verticali indica che il suo valore risultante va preso in valore assoluto (cioè senza segno) e viene chiamata modulo di ... La disuguaglianza precedente va quindi letta come
| -e < x(n) - x < e |
L'espressione precedente si sintetizza con la seguente notazione
Se il numero x non esiste o, più precisamente, se, comunque si fissi un numero K > 0 grande a piacere, x(n) > K per tutti gli indici n maggiori di una soglia prefissata n, allora si dice che la successione è divergente (positivamente), ovvero
oppure, se fissato K > 0, allora x(n) < - K per tutti gli indici n > n, la successione si dice divergente negativamente e si scrive
Un esempio di successione convergente è x(n) = 1/n; infatti, al crescere di n la frazione assumerà un valore sempre più piccolo (infatti per quanto scegliamo piccolo e sarà sempre possibile trovare un valore di n tale che 1/n < e). Pertanto avremo
Un esempio di successione divergente, invece, è x(n) = n; infatti, per la stessa definizione di numero intero, dato un numero K grande a piacere, esisterà sempre il numero n = K + 1; pertanto
Senza perdere in generalità adotteremo la convenzione di omettere l'indicazione che n tende a infinito sotto il simbolo di limite, cioè
|
è equivalente a lim x(n) = x |
Valgono le seguenti identità:
lim [x(n) + y(n)] = lim x(n) + lim y(n)
lim [x(n)y(n)] = lim x(n)lim y(n)
lim [x(n) / y(n)] = lim x(n) / lim y(n) (se lim y(n) 
0)
Valgono poi le seguenti "regole" di calcolo dei limiti (con la notazione (¥) si indicherà il limite di una successione divergente):
0)Le combinazioni (+ ¥) + (- ¥) , 0 ¥ , 0 / 0 , ¥ / ¥ , 00 , ¥0 sono chiamate forme indeterminate e non sono risolubili direttamente.
Dalle regole viste possiamo facilmente dimostrare i seguenti limiti fondamentali:
) ; lim nk
= 0 (se k < 0, k ) ( (lim n)k
= ¥)
Il limite di una funzione reale di variabile reale f(x) si definisce in maniera analoga a quello delle successioni. Si scelgano 2 numeri reali d, e > 0 e sia
| 0 < | x - x0 | < d |
per un x0 reale, allora se sussiste l'eguaglianza
| | f(x) - y | < e |
allora si dice che y è il limite di f(x) per x tendente a x0 e si scrive
| Ad es., |  |
Se, invece, esiste un k > 0 tale che x > k e, per ogni scelta di e > 0, si ha | f(x) - y | < e allora possiamo scrivere
Se, poi, comunque si fissi K > 0 esiste k > 0 tale che x > k e f(x) > K, allora possiamo scrivere
infine, se, fissato un d > 0 tale che 0 < | x - x0 | < d, esiste un K > 0 grande a piacere per cui f(x) > K, allora avremo
ad es., lim [(x+1)/x] = 1 per il primo caso e lim x = ¥ nel secondo caso. Nel terzo caso:
- Calcolare i limiti delle seguenti successioni
- Calcolare i limiti delle seguenti funzioni
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