Lezioni

Lezione del 16/5/2001

Una successione {a_k} finita (cioè il cui massimo indice n è un numero finito) viene anche chiamato vettore. I singoli termini della successione sono le componenti del vettore. In questo caso si usa la notazione a = (a₁,a₂,...,a_n). Un vettore u_k di componenti tutte nulle tranne una di valore unitario, ad esempio u₃ = (0,0,1,0,...,0), viene chiamato versore. Si adotterà la convenzione di indicare un vettore con una lettera in grassetto.

Prodotto scalare fra vettori: ab = a₁b₁ + a₂b₂ +...+ a_nb_n.

Due vettori a e b sono ortogonali se ab = 0. Versori diversi, u_j e u_k, sono ortogonali.

I versori godono anche della proprietà u_ju_k = 1 se j = k. Pertanto a_k = au_k.

Quando si parlerà di polinomi ortogonali e di analisi di Fourier si vedrà che tali proprietà possono essere estese a successioni di funzioni.

Matrici

Una successione bidimensionale finita {a_jk} è chiamata matrice. Si usa scrivere una matrice disponendo i suoi elementi in uno schema rettangolare; in questo caso l'indice j assume il nome di indice riga mentre k è l'indice colonna. Ad es., una matrice n x m si indica nel modo seguente

Un vettore può essere considerato, indifferentemente, come una matrice formata da una sola riga (vettore riga) o una sola colonna (vettore colonna).

Operazioni fra matrici

Date due matrici A e B entrambe n x m,

si definisce l'operazione di somma fra matrici nel seguente modo

Si definisce il prodotto fra le matrici A e B, una n x p e l'altra p x m, come il prodotto fra le righe di A per le colonne di B; ogni elemento della matrice sarà formato dal prodotto scalare dei vettori riga di A per i vettori colonna di B. La sua dimensione sarà n x m.

Dato un vettore colonna x = (x₁,x₂,...,x_m), il risultato del prodotto Ax con la matrice A,di dimensione n x m, sarà il vettore colonna y = (y₁,y₂,...,y_n). Per esercizio provare a dimostrarlo.

Matrici particolari

Scambiando righe con colonne della matrice A otteniamo la cosiddetta matrice trasposta A^t che avrà la seguente struttura

Se il numero di righe è uguale a quello delle colonne cioè n = m, si parla di matrici quadrate.

In una matrice quadrata si definisce diagonale principale il vettore formato dagli elementi che hanno l'indice riga e colonna uguali, ovvero d = (a₁₁,a₂₂,...,a_nn).

Particolare importanza hanno le seguenti matrici quadrate

Matrice triangolare (alta)	Matrice diagonale	Matrice unità

E' facile verificare perché la terza viene chiamata in quel modo...

Schemi di permutazione bidimensionale

Possono essere definite per le matrici le stesse operazioni combinatorie su successioni finite unidimensionali (vettori).

Un quadrato latino è una matrice quadrata di ordine n le cui righe e colonne sono formate da permutazioni di n elementi:

1	2	4	3
2	1	3	4
4	3	2	1
3	4	1	2

E' facile verificare che la somma degli elementi di ogni riga o colonna è costante ed è uguale a 10.

Esercizi

- Vettori

Dimostrare che i versori sono ortogonali.
Dimostrare che il prodotto scalare di un versore per se stesso è uguale a 1.
Dimostrare che a_k = au_k.

- Matrici

Dimostrare che il prodotto fra una matrice 2x3 e un vettore di 3 elementi dà come risultato un vettore di 2 elementi

- Matrici particolari

Dimostrare che la matrice unità ha realmente questa proprietà rispetto la moltiplicazione

- Permutazioni a 2 dimensioni

Provare a costruire quadrati latini di ordine 3,4,5,6
Provare a trasporre il quadrato latino di ordine 4 mostrato precedentemente

Pagina iniziale ____________ Informatica e Telematica____________ Programma ____________ Bibliografia