Lezione del 13/6/2001

Esercizi di riepilogo

- Determinare il dominio di esistenza delle seguenti funzioni

1. y = x / (x - 1)
2. y = sqrt(x-2) / sqrt(x²+2)
3. y = (x²+3) / (x²+4)
4. y = e^-x / (x²+1)
5. y = ln(x+1)
6. y = ln(x²+5)
7. y = ln[x² / (x+3)]
8. y = ln[sqrt(x²+1)]
9. y = ln(x³+3)
10. y = sqrt(ln(x-1))

- Sui logaritmi

1. Un filtro passa-basso passivo ha un fattore di attenuazione pari a 6 dB / ottava (l'ottava è l'intervallo che si ottiene raddoppiando la frequenza di una nota): cosa significa quest'affermazione?
2. E quali conclusioni possiamo trarre dal fatto che un filtro passa-basso ha un fattore di attenuazione di 48 dB / ottava?
3. Si è detto che l'intervallo di ottava corrisponde a un raddopiamento della frequenza; la maggior parte delle scale musicali in uso nelle culture più disparate si basa su divisione dell'ottava secondo criteri diversi; uno di questi è la trasposizione delle frequenze armoniche (cioè le frequenze multiple intere della fondamentale che è quella relativa all'altezza che si percepisce); ad esempio l'intervallo di 12a corrisponde all'intervallo tra la fondamentale e la 3a armonica (cioè a un rapporto uguale a 3 fra l'armonica e la fondamentale): per ottenere l'intervallo di 5a basta trasporre di un'ottava tale intervallo ottenendo così un rapporto di 3/2. La scala temperata occidentale (a intervalli equalizzati) si basa su una divisione dell'ottava tale che l'intervallo di base (il semitono) è sempre uguale in qualsiasi punto si faccia iniziare la scala; il rapporto tra l'altezza di una nota e del semitono successivo è dato da . Per poter usare i rapporti tra altezze in maniera additiva si suole esprimerli tramite i logaritmi in base 2 in modo che tutti gli intervalli siano espressi con un numero compreso tra 0 e 1. Dimostrare che la quinta naturale (rapporto 3/2) è praticamente identica alla quinta temperata.
4. Realizzare un programma Csound che permetta di ascoltare le prime 16 armoniche di un suono fondamentale a 261 Hz.
5. Dallo stesso programma del punto precedente ricavare un programma che permetta di verificare acusticamente sia gli intervalli naturali che quelli temperati.

- Rappresentare in maniera polare i seguenti numeri complessi

1. 1 + j1
2. 2 + j3
3. 1 - j2
4. 4 + j5
5. 3 - j7

- Dimostrare la seguente uguaglianza (Formula di De Moivre)

• [r(cosj + jsenj)]ⁿ = rⁿ[cos(nj) + jsen(nj)]

- Disegnare gli spettri delle seguenti modulazioni ad anello

1. fp = 300; f1 = 250, a1 = 1; f2 = 280, a2 = 2
2. fp = 1500; f1 = 1400, a1 = 1.5; f2 = 1200, a2 = 1
3. fp = 1000; f1 = 400, a1 = 1; f2 = 800, a2 = 1/2; f3 = 1200, a3 = 1/3
4. fp = 700; f1 = 100, a1 = 1; f2 = 200, a2 = 1/4; f3 = 300, a3 = 1/9
5. Realizzare un programma Csound per ascoltare i risultati sonori delle precedenti modulazioni

- Verificare le seguenti uguaglianze

1. 4cos³x - 3cosx = cos3x
2. 8cos⁴x - 8cos²x + 1 = cos4x
3. 16cos⁵x - 20cos³x + 5cosx = cos5x
4. 32cos⁶x - 48cos⁴x + 18cos²x - 1 = cos6x
5. 64cos⁷x - 112cos⁵x + 56cos³x - 7x = cos7x
6. cosnx = cosⁿx - cos^n-2x (1-cos²x) + cos^n-4x (1-cos²x)² + cos^n-6x (1-cos²x)³ + ....

- Dimostrare le seguenti affermazioni

1. I primi membri delle uguaglianze da 1 a 5 del gruppo precedente di esercizi sono state ottenute applicando la formula generale al secondo membro dell'espressione n° 6
2. La formula generale del n° 6 del gruppo precedente si può ricavare dalla seguente relazione di ricorrenza: T_n(y) = 2yT_n-1(y) - T_n-2(y) per n = 2, 3, ... , dove y è una qualsiasi espressione o funzione (nel gruppo precedente era y = cos(x)) e T₀ = 1 e T₁ = y.

nota: le T_n(y) sono anche chiamate polinomi di ChebyChev e godono di importanti proprietà che saranno chiare quando si studieranno i metodi di sintesi non lineari (waveshaping).

- Disposizioni, permutazioni, combinazioni

1. Quante parole italiane da 5 caratteri si possono costruire?
2. Quante password di 6 caratteri sono possibili usando un insieme di simboli comprendente le lettere maiuscole e minuscole, le cifre numeriche e i segni di interpunzione.
3. Quante sequenze di altezze diatoniche di 5 note possono essere costruite in un'ottava?
4. Quante sono le sequenze ritmiche (ad altezza fissa) in una misura di 3/4 ottenibili solo con crome e relative pause?
5. Quanti sono gli anagrammi della parola "BISCROMA" (anche privi di significato)?
6. In quante maniere è possibile disporre (indipendentemente dal significato armonico e dall'ottava) le note di un accordo di 5a aumentata?
7. Quante "combinazioni" di 7 simboli diversi sono possibili per una cassaforte dotata di un tastierino numerico?
8. Quante cinquine sono possibili al gioco del Lotto?
9. Quanti accordi di 3 suoni (diversi) possono essere costruiti con le sole note di una scala maggiore?
10. Quante melodie (complete dei valori di durata e pause fino alla croma esclusi punti e gruppi irregolari) di 12 note si possono realizzare usando una scala pentatonica

- Vettori

Dato un vettore qualsiasi v, dimostrare che

(sapendo che v_k = vu_k).

- Eseguire i seguenti prodotti fra matrici

- Permutazioni a 2 dimensioni

Due quadrati latini distinti si dicono ortogonali se il quadrato formato dalle coppie di elementi corrispondenti dei 2 quadrati ha elementi diversi; in questo caso, tali quadrati si dicono greco-latini. Ad esempio:

• Provare a costruire quadrati greco-latini di ordine 4,5,6

- Successione di Fibonacci

• Calcolare j(24) usando la formula di Binet

- Calcolare i limiti delle seguenti successioni

1. x(n) = n / (n² + 3)
2. x(n) = (n² + n + 1) / (n + 1)
3. x(n) = n!
4. x(n) = aⁿ / n!
5. sqrt(n) - sqrt(n-1)

- Calcolare i limiti delle seguenti funzioni

1. f(x) = x / (x² + 2) per x tendente a -2
2. f(x) = (x² + x + 1) / (x - 2) per x tendente a 2
3. f(x) = x / (x² + 2) per x tendente a -2
4. f(x) = e^x / (x³ + 1) per x tendente a -1 e per x tendente a ¥
5. f(x) = sqrt(x) / sqrt(x³ + 1) per x tendente a ¥
6. Tutte le funzioni del 1° gruppo di esercizi (ricerca del dominio) nei punti non appartenenti al dominio di esistenza

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